Как найти коэффициенты полинома лагранжа. Интерполяционная формула лагранжа. Среднеквадратичное приближение функций

Подходящие кривые и поверхности к данным с помощью регрессии, интерполяции и сглаживания

Curve Fitting Toolbox™ предоставляет приложение и функции для подбора кривой кривым и поверхностям к данным. Тулбокс позволяет вам выполнить исследовательский анализ данных, предварительно обработать и постобработать данные, сравнить модели кандидата и удалить выбросы. Можно провести регрессионный анализ, пользующийся библиотекой линейных и нелинейных предоставленных моделей, или задать собственные уравнения. Библиотека обеспечивает оптимизированные параметры решателя и стартовые условия улучшить качество ваших подгонок. Тулбокс также поддерживает непараметрические техники моделирования, такие как сплайны, интерполяция и сглаживание.

После создания подгонки можно применить множество методов последующей обработки для графического вывода, интерполяции и экстраполяции; оценка доверительных интервалов; и вычисляя интегралы и производные.

Начало работы

Изучите основы Curve Fitting Toolbox

Линейная и нелинейная регрессия

Подходящие кривые или поверхности с линейными и нелинейными моделями библиотеки и пользовательскими моделями

Интерполяция

Подходящие кривые интерполяции или поверхности, оцените значения между известными точками данных

Сглаживание

Подходящее сглаживание использования шлицует и локализованная регрессия, сглаженные данные со скользящим средним значением и другими фильтрами

Подходящая постобработка

Графический вывод, выбросы, невязки, доверительные интервалы, данные о валидации, интегралы и производные, генерирует код MATLAB ®

Сплайны

Создайте сплайны с или без данных; ppform, B-форма, продукт тензора, рациональный, и сплайны тонкой пластины stform

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

При исследовании явлений природы с помощью математического аппарата используются различные функции.

Функции могут задаваться различными способами. Простейший из них – задание аналитического выражения, которое дает возможность по любым допустимым значениям аргумента вычислить значение функции. На практике такие случаи бывают весьма редко.

Часто функции определяются бесконечными рядами. Вычисление значений функции с помощью бесконечного ряда – довольно громоздкая операция, требующая сходимости и достаточного количества членов ряда.

Функция может быть представлена неопределенным интегралом или дифференциальным уравнением.

Во всех случаях, когда значения функции либо невозможно точно вычислить, либо вычисление слишком громоздко, прибегают к составлению таблиц функции, если эта функция встречается в различных задачах. Таким образом, мы приходим к табличному заданию функции, то есть такому, когда функция
определяется таблицей своих значений при заданных значениях аргументов , i=1,2,…n:

Табличные значения функции и аргумента называют узлами таблицы .

Разность двух соседних значений аргумента называется шагом таблицы
. Если эта разность изменяется, то таблица называется таблицей с переменным шагом, если разность неизменна, то это таблица с постоянным шагом. Стараются строить таблицы с постоянным шагом. Шаг, вообще говоря, не может быть очень малым, иначе сильно возрастает объем таблицы.

Обычно таблица располагается так, что аргумент (например, время) возрастает.

При решении задач естествознания, как правило, приходится иметь дело со случаями, когда нужны значения функции не только для табличных значений аргумента (узлов). Так, например, часто требуется знать координаты Солнца относительно Земли, но почти всегда не в 0 h Всемирного времени, как дается в Астрономическом ежегоднике, а в определенные промежуточные моменты.

Поэтому имеет большое практическое значение следующая задача: дана табличная функция; необходимо найти способ приближенного определения значений функции для произвольных значений аргумента, не совпадающих с узлами таблицы.

Если значение аргумента задано внутри области табличных значений аргумента, то указанную задачу называют задачей интерполяции ; если же значение аргумента задано вне табличной области, то говорят об экстраполяции .

Интерполирование по табличной функции сводится к приближению табличной функции другой, легко вычисляемой функцией. Выражение для этой легко вычисляемой функции используется для интерполяции: заданное значение аргумента подставляется в нее и производятся вычисления.

Построение приближения табличной функции представляет неопределенную задачу и требует дополнительных соглашений.

Во-первых, надо условиться относительно класса функций, используемых для приближения. Очевидно, желательна возможность легкого вычисления функции по заданному значению аргумента. Этому условию удовлетворяют алгебраические полиномы , которые чаще всего и используются для приближения.

Если табличная функция периодическая и приближение нужно в области, охватывающей весь период, то используют тригонометрические полиномы . Когда периодическую функцию нужно приблизить только на небольшой части периода, то обычно используют алгебраические полиномы.

Во-вторых, надо потребовать, чтобы приближение было возможно лучшим. Что значит «лучшим»? На практике употребляют различные критерии наилучшего приближения. Мы примем такой: приближающий полином, который должен точно представлять узлы таблицы. То есть интерполяционный полином должен на графике пройти через все точки (узлы) табличной функции. По этой причине интерполяция с указанным условием называется точечной интерполяцией .

Если какая-либо величина изменяется пропорционально времени, то разность значений через равные промежутки времени постоянна. В этом случае, можно применить простейшее линейное интерполирование.

Если за 24 часа величина Х изменяется равномерно на , то ее значение для момента t часов, прошедших после момента t 0 равно

.

Но такого практически никогда не бывает, разность соседних значений в таблице изменяется, и иногда сложным образом. Можно допустить линейное интерполирование, если не требуется большой точности. Но если надо получить значение табличной функции с той же точностью, что и в узлах, то, согласно принятым соглашениям, надо строить интерполяционный полином.

Интерполяционный полином Лагранжа

Предположим, имеется таблица из двух столбцов
,
,
. Требуется найти полином низшей степени, который принимает значениядля каждого аргумента:
, то есть совпадающий со значениями табличной функции в узлах. Приближенно будем считать, что для любого значения аргументаt
,
. Подобное приближенное равенство называют интерполяционной формулой. Итак, надо найти интерполяционную формулу, а затем оценить ее погрешность.

Найдем, прежде всего, полином (многочлен), который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Очевидно несложная функция

,

где штрих у знака произведения означает
, является требуемым полиномом степениn-1.

Заметим, что через n точек однозначно можно провести полином степени не выше n-1, например, через 2 точки можно однозначно провести прямую (кривую 1-го порядка), через 3 точки – параболу (кривую 2-го порядка) и т.д.

Легко проверить, что
равен 1, если
; и 0, когда
. Домножим
на, полученный полином
принимает значениев j-й узловой точке и равен нулю во всех других узлах. Поэтому сумма таких полиномов будет принимать значениядля аргумента:

,

Отметим: j – порядковый номер промежуточного полинома
в сумме, строящей полином Лагранжа;i – номер любого узла таблицы.

В общем случае

Это и есть искомый полином степени n-1, проходящий через все n узлов таблицы
:
,
.

Впервые интерполяционный полином Лагранжа был опубликован в 1795 году.

Подчеркнем: если дано n узловых точек, то соответствующий полином степени n-1, проходящий через эти точки, однозначно (в пределах ошибок округления) определен, независимо от способа построения и системы обозначений. Если используются разные узловые точки, то, конечно, полиномы могут быть различными, но одинаковые узловые точки должны приводить к одинаковым полиномам (в пределах ошибок округления).

Потребовав, чтобы полином принимал значения для каждого аргумента, мы построили полином Лагранжа. Если потребовать, чтобы полином принимал не только значения табличной функции в узлах, но и первая производная от полинома была равна первой производной табличной функции в узлах, то мы построим полином Эрмита.

Пример . Дана таблица

n=2. Согласно
;

Согласно
;
.

. Подставляя числа

.

Это интерполяционный полином 1-го порядка – прямая.

Для t = 2, L = 4.5.

Пример . Дана таблица

Построить интерполяционный полином Лагранжа и найти значение L (2).

n=3. Согласно ;

Согласно

.

Это интерполяционный полином 2-го порядка – парабола.

Для t = 2, L = 7.33.

На этом рисунке показан график полинома Лагранжа, построенного по 5-ти узлам – полином 4-го порядка.

На этом рисунке показан график полинома Лагранжа, построенного по 8-ти узлам – полином 7-го порядка.

Из рисунков видно, что значения табличной функции между узлами полиномом Лагранжа представляются неудовлетворительно. Кроме того, полином Лагранжа неудобен для практического использования. На практике обычно известна требуемая точность результата, а множество используемых узлов можно выбирать.

n - количество узлов.

Задача интерполяции - найти функцию , принимающую в точках те же значения .

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых. Точки называют узлами интерполяции. Узлы интерполяции не обязательно должны располагаться равномерно на отрезке [ .

Функция называется интерполянтом функции .

Если значение ищется на интервале [ , то эту задачу принято называть задачей интерполяции, а если за пределами этого интервала, то это задачей экстраполяции.

Задача имеет много решений, т.к. через заданные точки, i=0, 1,..., n, можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия (1.2).

В зависимости от цели приближения используют либо интерполяцию (точечную аппроксимацию), либо аппроксимацию. Аппроксимация – это замена таблично заданной функции функцией , которая на рассматриваемом отрезке имеет ограниченное отклонение от функции .

Условие интерполяции:

(1.2)

Где а – вектор неизвестных коэффициентов.

Обычно вид известен заранее. Чтобы решить задачу интерполяции необходим коэффициент .

Решить задачу интерполяции - значит найти при заданных и .

В общем виде система представляет систему нелинейных уравнений и при больших n часто не имеет решений.

Первым методом решений задачи интерполяции является метод Лагранжа.

Простейшим и наиболее часто применяемым функцией является полином:

где , , , …, – коэффициент полинома,

m – степень аппроксимирующего многочлена.

Интерполирование состоит в приближённой замене функции , заданной таблично, функцией , которая принимает те же значения, что и функция .

Все методы интерполяции можно разделить на локальные и глобальные. В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [ . Методы глобальной интерполяции обычно применяют для функций, заданных небольшим количеством точек, т. к. при увеличении количества точек увеличивается порядок интерполирующего многочлена, что отрицательно сказывается на гладкости получаемой функции. Многочленная аппроксимация, использующая сразу все узлы таблицы (глобальная интерполяция) имеет существенный недостаток – возможность появления больших экстремумов в промежутках между узлами сетки. Т.е. интерполяционный полином может иметь колебания, не свойственные исходным данным. Кроме того, с ростом степени полинома происходит быстрое накопление ошибок округления. Чтобы избежать этих нежелательных эффектов, на практике применяют локальную интерполяцию. . В случае локальной интерполяции на каждом интервале строится отдельный полином. Для локальной интерполяции количество узлов большого значения не имеет.

Рассмотрим некоторые виды локальной и глобальной интерполяции.

Локальная интерполяция:

1. Кусочно-линейная интерполяция

2. Интерполяция сплайнами

Глобальная интерполяция:

1. Полином Лагранжа

2. Многочлен Ньютона

ГЛОБАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Интерполяция полиномом Лагранжа

При глобальной интерполяции на всем интервале строится единый многочлен. Одной из форм записи интерполяционного многочлена для глобальной интерполяции является многочлен Лагранжа:

Интерполяционный полином Лагранжа n-ой степени есть линейная комбинация базисных полиномов Лагранжа:

То есть многочлен Лагранжа:

(2.3)

Многочлен удовлетворяет условию

Это условие означает, что многочлен равен нулю при каждом кроме , то есть , , … , – корни этого многочлена. Таким образом, степень многочлена равна n и при в сумме обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером i=j, равного .

Принимает значение 1 в точке и 0 в остальных узлах интерполяции. Следовательно в точке исходный полином принимает значение

(2.4)

Выражение (2.1) применимо как для равноотстоящих, так и для не равноотстоящих узлов.

Многочлен Лагранжа в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, поэтому он удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны. Число арифметических операции, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально и является наименьшим для всех форм записи. К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов приходится все вычисление проводить заново.

2.2. Многочлен Ньютона

Пусть функция g(x) задана с произвольным шагом и точки таблицы значений занумерованы в произвольном порядке.

Многочлен Ньютона во многом опирается на понятие разделенных разностей.

Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями функции в узлах. Разделенные разности первого порядка определяются через разделенные разности нулевого порядка:

Разделенные разности k-го порядка определяются через разделенную разность порядка :

Для повышения точности интерполяции в сумму могут быть добавлены новые члены, что требует подключения дополнительных узлов. При этом для формулы Ньютона безразлично, в каком порядке подключаются новые узлы, в то время как для многочлена Лагранжа при добавлении новых узлов все расчеты надо производить заново.

Предположим, что необходимо увеличить степень многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел . Для вычисления достаточно добавить к лишь одно слагаемое

ЛОКАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

3.1. Кусочно-линейная интерполяция.

Одним из самых используемых и простейших видов локальной интерполяции, является кусочно-линейная интерполяция, при которой каждые две точки и табличной функции соединяются отрезками прямой (т.е. проводится полином первой степени)

Кусочно-линейная интерполяция является самой простой, и поэтому довольно часто применяется для расчета значений между узлами интерполяции. Для построения интерполирующей зависимости, используемой в дальнейших научных и инженерных расчетах, обычно используются более сложные методы интерполяции.

3.2. Интерполяция сплайнами

Иногда требуется обеспечить непрерывность не только интерполирующей функции, но и нужного количества её производных для этого прибегают к интерполяции сплайнами.

Сплайн – функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с алгебраическим многочленом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна.

Преимущества интерполяции сплайнами по сравнению с обычными методами интерполяции – в сходимости и устойчивости вычислительного процесса. На практике наиболее часто используются кубические сплайны – сплайны третьей степени с непрерывной, по крайней мере, первой производной. При этом величина , называется наклоном сплайна в точке (узле) .

Разобьём отрезок на N равных отрезков [ , ], где , i=0,1,…,N-1.

Если в узлах , , заданы значения , которые принимает кубический сплайн, то на частичном отрезке [ , ] он принимает вид:

В самом деле, это легко проверить, рассчитав и в точках ,

Можно доказать, что если многочлен третьей степени, принимает в точках , значения , и имеет в этих точках производные, соответственно, , , то он совпадает с многочленом (3.3).

Таким образом, для того, чтобы задать кубический сплайн на отрезке, необходимо задать значения , i=0,1…,N в N+1 в узле .

ОШИБКА ИНТЕРПОЛЯЦИИ

При интерполяции функции всегда получают ошибку состоящую из погрешности самого метода и ошибок округления.

Ошибка приближения функции интерполяционным полиномом n-й степени в точке xопределяется разностью.

Здесь – производная (n+1) порядка функции в некоторой точке, а функция определена как

то для погрешности интерполяции следует оценка.

(4.4)

Конкретная величина погрешности в точке x зависит, очевидно, от значения функции в этой точке. Качественный характер зависимости показан на рисунке 2.

Из рисунка видно, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка. За пределами отрезка интерполяции (т.е.

при экстраполяции) быстро растет, поэтому погрешность возрастает существенно.

Рисунок 2

Вследствие описанного поведения погрешности, глобальная интерполяция в некоторых случаях может давать совершенно неудовлетворительный результат.

5. ПРИМЕР ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА

Для нахождения многочлена, принимающего в конкретных точках нужные значения, может использоваться пакет Mathcad. В качестве примера рассмотрим задачу на нахождение многочлена Лагранжа удовлетворяющего приведенным исходным данным.

Построим многочлен Лагранжа в пакете Mathcad:

Исходные данные:

Будем искать интерполяционный многочлен в виде

ВАНДЕРМОНД АЛЕКСАНДР ТЕОФИЛЬ (Vandermonde Alexandre Theophill; 1735-1796)- французский математик, чьи основные работы относятся к алгебре. В. заложил основы и дал логическое изложение теории детерминантов (определитель Вандермонда), а также выделил ее из теории линейных уравнений. Он ввел правило разложения детерминантов с помощью миноров второго порядка.

Здесь 1.(х) - многочлены степени л, так называемые ЛАГРАНЖЕ- ВЫ МНОГОЧЛЕНЫ ВЛИЯНИЯ, удовлетворяющие условию

Последнее условие означает, что любой многочлен l t (x) равен нулю при каждом х-у кроме х. у т. е. х 0 у x v ...» х { _ v x i + v ...» х п - корни этого многочлена. Следовательно, лагранжевы многочлены Ifjx) имеют вид

Так как по условию 1.(х.) = 1, то

Таким образом, лагранжевы многочлены влияния запишутся в виде

а интерполяционный многочлен (2.5) запишется в виде

ЛАГРАНЖ ЖОЗЕФ ЛУИ (Lagrange Joseph Louis; 1736- 1813) - выдающийся французский математик и механик, наиболее важные труды которого относятся к вариационному исчислению, к аналитической и теоретической механике. В основу статики Л. положил принцип возможных (виртуальных) перемещений. Он ввел обобщенные координаты и придал уравнениям движения механической системы форму, названную его именем. Л. получил ряд важных результатов в области анализа (формула остаточного члена ряда Тейлора, формула конечных приращений, теория условных экстремумов); в теории чисел (теорема Лагранжа); в алгебре (теория непрерывных дробей, приведение квадратичной формы к сумме квадратов); в теории дифференциальных уравнений (отыскание частного решенияу изучение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, линейного относительно искомой функции и независимой переменной, с переменными коэффициентами, зависящими от производной от искомой функции); в теории интерполирования (интерполяционная формула Лагранжа).

Интерполяционный многочлен в форме (2.6) называется ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ МНОГОЧЛЕНОМ ЛАГРАНЖА. Перечислим основные достоинства этой формы записи интерполяционного многочлена.

• Число арифметических операций, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально п 2 и является наименьшим для всех форм записи.
• Формула (2.6) в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, что бывает удобно при некоторых вычислениях, в частности, при построении формул численного интегрирования.
• Формула (2.6) применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов.
• Интерполяционный многочлен Лагранжа особенно удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях.

К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов приходится все вычисления проводить заново. Это затрудняет проведение апостериорных оценок точности (оценок, получающихся в процессе расчета).

Введем функцию ю л f , = (х - х 0)(х - Xj)...(x - х п) = fl (* “ *;)

Отметим, что ш п + : (х) есть многочлен степени п + 1. Тогда формулу (2.6) можно записать в виде

Приведем формулы линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу:

Многочлен Лагранжа является в формуле (2.8) многочленом 1-й и в формуле (2.9) - многочленом 2-й степени.

Эти формулы наиболее часто используются на практике. Пусть задан (п + 1) узел интерполяции. На этих узлах можно построить один интерполяционный многочлен п -й степени, (п - 1) многочлен первой степени и большой набор многочленов степени меньше п, опирающихся на некоторые из этих узлов. Теоретически максимальную точность обеспечивает многочлен более высокой степени. Однако на практике наиболее часто используют многочлены невысоких степеней во избежание погрешностей при расчетах коэффициентов при больших степенях многочлена.

Полином Лагранжа

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все x i различны, существует единственный многочлен L (x ) степени не более n , для которого L (x i ) = y i .

В простейшем случае (n = 1 ) - это линейный многочлен, график которого - прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2) и (7,9) , а также полиномы y j l j (x) , каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x i

Пусть для функции f (x ) известны значения y j = f (x j ) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от l j не зависят от f (x ) , и их можно вычислить заранее, зная последовательность x i .

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить x i через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x 0 :

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y , который строится с использованием только целочисленной арифметики . Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

Внешние ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Полином Лагранжа" в других словарях:

Форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х 0, x1,..., х п: В случае, когда значения х i являются равноотстоящими, т. е. с помощью обозначений (х x0)/h=t формула (1)… … Математическая энциклопедия

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

В вычислительной математике многочлены Бернштейна это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм… … Википедия

Многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел, где все различны, существует единственный многочлен степени не более, для которого. В простейшем случае (… Википедия

Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел, где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

Интерполяционный многочлен Лагранжа многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел, где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.… … Википедия

О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто … Википедия

О функции, см.: Интерполянт. Интерполяция, интерполирование в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и… … Википедия