Координатная запись аффинных преобразований. Преобразование аффинной системы координат. Линейные преобразования координат с помощью матриц

М 1 =(x 1 ,y 1), М=(x,y). Так как точка М делит отрезок М 0 М 1 в отношении λ, то

; (1)

При данном аффинном преобразовании точки М 0 ,М 1 ,М перейдут в точки М 0 ′,М 1 ′, М′ с теми же координатами, что и у точек М 0 ,М 1 ,М, но только в координатной системе О"е" 1 е" 2 . Эти координаты по-прежнему связаны соотношениями (1), из которых следует, что М′ делит отрезок М 0 ′М 1 ′ в отношении λ. Этим теорема доказана.

3.Аналитическое выражение аффинных преобразований (формулы перехода).

Задача: Как зная параметры одной системы относительно другой можно определить положение точки в обеих системах координат(т.е. как найти формулы переходе от одной системы(старой) к другой новой системе.

Рассмотрим случаи преобразования для аффинных систем координат.

1) Пусть дана система R={О, (е 1 , е 2)} и пусть в ней задана М=(x,y) R , О(0,0) R - координаты начала. е 1 (1,0) R , е 2 (0,1) R – координаты базисных векторов.

2) Пусть задана вторая система координат R′={О, (е 1 ′, е 2 ′)}, причем известны параметры, определяющие новый базис и новое начало координат через старую систему координат, т.е. О′(x 0 ,y 0) R , е 1 ′(С 11 ,С 12) R , е 2 ′(С 12 ,С 22) R

Поставим задачу найти координаты точки М в новой системе координат(М(x′,y′) R ′). Обозначим неизвестные координаты точки М(x′,y′).

Для трех точек О,О′,М: О′М=О′О +ОМ. О′М – радиус вектор точки М в новой системе координат, значит, его координаты будут совпадать с координатами вектора О′М в системе R′ (О′М↔М R ′)=>О′М(x′,y′) R ′ => О′М=x′e 1 ′+y′e 2 ′ (1) ; О′О - радиус вектор точки О′ в системе R′, т.е. его координаты будут совпадать с координатами О′О↔ О′ R => О′О(x 0 ,y 0) R => О′О= x 0 e 1 +y 0 e 2 (2) ; ОМ↔ М R => ОМ=xe 1 +ye 2 (3). Т.о. вектор О′М=ОМ −ОО′ после подстановки в данное векторное равенство разложения (1),(2) и (3) будет иметь вид:

x′e 1 ′+y′e 2 ′= xe 1 +ye 2 −(x 0 e 1 +y 0 e 2) (4); т.к. в условии заданы параметры, определяющие координаты новых базисных векторов через старый базис, получим для новых базисных векторов следующие векторные равенства:

е 1 ′(С 11 ,С 12) R => е 1 ′= С 11 e 1 +С 21 e 2 ;

е 2 ′(С 12 ,С 22) R => е 2 ′= С 12 e 1 +С 22 e 2 ; (5)

Подставим (5) в левую часть (4) и сгруппируем относительно базисных векторов е 1 и е 2 .

x′(C 11 e 1 +C 21 e 2)+y′(C 12 e 1 +C 22 e 2)- xe 1 -xe 2 +x 0 e 1 -ye 2 +x 0 e 1 +y 0 e 2 =0.
(x′C 11 + y′C 12 e 1 -x+x 0)e 1 + (x′C 21 +y′ C 22 -y+y 0)e 2 =0.

Т.к. (е 1, е 2) образуют базис, то это линейнонезависимая система, для которой последнее векторное равенство выполняется при условии, что все коэффициенты левой части равны нулю, т.е. при условии

(6);

(6)- формулы перехода от старой системы R к новой системе R′ при переменных x′ и y′.

Т.к столбцы определителя- это координаты базисных векторов е 1 ′ и е 2 ′, то данный определитель никогда не обращается в ноль, т.е. система (6) однозначно разрешима относительно переменных х′ и у′, что всегда позволяет найти формулу обратного перехода от R′ к R.

Для формул (6) существуют два частных случая

1. замена базиса;

2. перенос начала.

1.Система R′, полученная из системы Rпутем замены базиса с сохранением того же начала координат R={О, (е 1 , е 2)}→ R′={О, (е 1 ′, е 2 ′)}, т.е. О′(х 0 ,у 0)=О(0,0)=>х 0 =у 0 =0,тогда формулы замены базиса примут вид:

(7)

2. Пусть система R′ получена из R путем переноса начала из т.О в точку О′ с сохранением того же базиса:
R={О, (е 1 , е 2)}→ R′={О′, (е 1 , е 2)}=> е 1 ′(1,0), е 2 ′(0,1),т.о. формулы примут вид.

В однородных координатах точка записывается как для любого масштабного множителя . При этом если для точки задано ее представление в однородных координатах , то можно найти ее двухмерные декартовы координаты как и .

Геометрический смысл однородных координат состоит в следующем (рис.6). произвольная точка на прямой

Рис. 6. Геометрическая интерпретация однородных координат

Тем самым между производительной точкой с координатами (x, y) и множеством троек чисел вида (W×x, W×y, W), W≠0 устанавливается взаимно однозначное соответствие, позволяющее считать числа W×x, W×y, W новыми координатами этой точки. Таким образом, однородные координаты можно представить как вложение промасштабированной с коэффициентом W двухмерной плоскости в плоскость z = W (здесь z = 1) в трехмерном пространстве.

Применение однородных координат оказывается удобным при решении даже простейших задач.

Если устройство отображения работает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами), то для произвольного значения W (например, W=1) точку с однородными координатами (0,5; 0,1; 2,5) представить нельзя. Однако при разум, ном выборе W можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при W=10 для рассматриваемо­го примера имеем (5; 1; 25).

Другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению, для точки с координатами (80000; 40000; 1000) можно взять, например, W=0,001. В результате получим (80; 40; 1).

Однако основное применение однородных координат - это гео­метрические преобразования, поскольку при помощи троек однород­ных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование в плоскости. Аналогично с помощью чет­верок однородных координат и матриц четвертого порядка можно описать любое преобразование в трехмерном пространстве.

Как известно, преобразования переноса, масштабирования и по­ворота в матричной форме записываются в виде

Р’ = Р × S;

Перенос реализуется отдельно (с помощью сложения) от масшта­бирования и поворота (с помощью умножения). Если выразить точ­ки в однородных координатах, то все три преобразования можно реализовать с помощью умножений. Здесь мы рассмотрим двухмерные преобразования.

Уравнения переноса записываются в виде матрицы преобразования однородных координат следующим образом:

Р’ = Р × T(dx, dy),

.

Иногда подобные выражения записываются следующим образом:

Рассмотрим, например, двойной перенос точки. Пусть необходи­мо перенести точку Р в точку Р’ на расстояние (dx1, dy1), а затем в P’’ на расстояние (dх2, dу2). Суммарный перенос должен быть равен расстоянию (dх1+d2, dу1+dу2). Запишем данные в виде

P’ = P × T (dx1, dy1);

P’’ = P’ × T (dx2, dy2).

Подставляя первую формулу во вторую, получим

P’’ = P × (T (dx1, dy1) × T (dx2, dy2)).

Матричное произведение T (dx1, dy1) ∙ T (dx2, dy2) есть

Таким образом, результирующий перенос есть (dx1+dx2, dy1+dy2), т.е. последовательные переносы являются аддитивными.

Уравнения масштабирования в матричной форме с использованием однородных координат записываются в виде

,

.

P’ = P’ × S(Sx, Sy).

Матричное произведение S(Sx1, Sy1) × S(Sx2, Sy2) есть

Таким образом, последовательные масштабирования мультипликативны.

И наконец, уравнение поворота (в правосторонней системе) можно представить в виде

.

Последовательные повороты являются аддитивными.

Композиция двухмерных преобразований с помощью однородных координат . Матричное произведение в разных случаях называют объединением, соединением, конкатенацией и композицией . Будем пользоваться последним из перечисленных терминов.

Рассмотрим, например, поворот объекта относительно некоторой произвольной точки P1. Поскольку нам известно лишь как поворачивать вокруг начала координат, разобьем исходную задачу на три подзадачи:

Перенос, при котором точка P1 перемещается в начало координат;

Поворот;

Перенос, при котором точка из начала координат возвращается в первоначальное положение P1.

Последовательность этих преобразований показана на рис. 7.1.

Рис. 7.1 . Поворот объекта относительно некоторой произвольной точки

Результирующее преобразование имеет вид

Используя аналогичный подход, можно промасштабировать объект относительно произвольной точки P1: перенести P1 в начало координат, промасштабировать, перенести назад в точку P1. Результирующее преобразование в этом случае будет иметь вид

Рассмотрим более сложное преобразование. Предложим, что нам необходимо промасштабировать, повернуть и расположить в нужном месте объект (домик на рис. 7.2), где центром поворота и масштабирования является точка P1.

Рис. 7.2 . пример последовательности преобразования

Последовательности преобразований заключается в переносе точки P1 в начало координат, проведении масштабирования и поворота, а затем переносе из начала координат в новую позицию P2. В структуре данных прикладной программы, в которой содержится это преобразование, могут находиться масштабный множитель (множители), угол поворота и величины переноса или может быть записана матрица результирующего преобразования:

T (-x1, -y1) × S (Sx, Sy) × R (A) × T (x2, y2).

В общем случае перемножение матриц некоммутативно. Если М1 и М2 представляют собой элементарные перенос, масштабирование или поворот, в следующих частных случаях коммутативность имеет место:

M1	M2
Перенос Масштабирование Поворот Масштабирование (при Sx=Sy)	Перенос Масштабирование Поворот Поворот

Композиция наиболее общего вида, составленная из операций R, S и T, имеет матрицу

Ее верхняя часть размером 2 × 2 является объединенной матрицей поворота и масштабирования, в то время как tx и ty описывают суммарный перенос. Для вычисления Р∙М как произведения вектора на матрицу размером 3 × 3 требуются 9 операций умножения и 6 операций сложения. Структура последнего столбца обобщенной матрицы позволяет упростить фактически выполняемые действия.

English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.

You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.

Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе:

, , , (3)

выразить координаты х,у точки М в старой системе координат, через координаты этой точки в новой системе.

Из формул (3) следует, что

; ; . (4)

(по правилу треугольника).

Так как , , то по определению координат точки , , т.е. ; .

Тогда, используя формулы (4), получим:

откуда находим:

(5) ;

Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе через ее координаты в новой системе .

Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат .

Коэффициенты , при - координаты нового вектора в старой системе ; коэффициенты , при - координаты нового вектора в старой системе, свободные члены , - координаты нового начала в старой системе:

Координаты точки М

в новой системе

х

у

=

=

+

+

+

+

Таблица называется матрицей перехода от базиса , к базису , .

Частные случаи преобразования аффинной

Системы координат

1. Перенос начала .

При этом преобразовании , , а (рис. 40).

Найдем координаты векторов и в старой системе, т.е. , , и :

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

Тогда формулы (5) примут вид:

О"

Рис. 40

(7)

Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов .

Понятие направленного угла между векторами.

Преобразование прямоугольной системы координат

Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости.

Пусть и - ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( - первый вектор, - второй вектор).

Если || , то направленным углом между вектором и вектором называется

величина , если базис , - правый;

величина , если базис , - левый.

Если , то направленный угол между ними считается равным , если , то (рис. 42).

Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат и . Пусть М(х;у) в , в . Так как прямоугольная система координат - частный случай аффинной, то можно пользоваться формулами (5) из §12, но коэффициенты , , , уже не могут быть произвольными .

Найдем координаты векторов , в старой системе . Рассмотрим два случая.

1) Базисы , и , одинаково ориентированы (рис. 43).

А 1

А

В

В 1

О"

Рис. 44

a

a

Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу (
, ), следовательно, и .

Из находим:

Следовательно, .

Следовательно, . Тогда формулы (5) примут вид:

Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису ,

.

2) Базисы , и , противоположно ориентированы (рис. 45).

О

О"

Рис. 45

О

О"

В

В 1

А

А 1

a

Рис. 46

Пусть . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 46).

Рассуждая аналогично случаю 1), получим:

Следовательно, ; .

Тогда формулы (5) примут вид:

Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису , в этом случае

Формулы (8) и (9) можно объединить:

, где

.

Частные случаи преобразования

Прямоугольной системы координат

1. Перенос начала: , .

Полярные координаты

Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.

Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.

Пара, состоящая из точки О и единичного вектора , называется полярной системой координат и обозначается или . Направленная прямая называется полярной осью , точка О - полюсом (рис. 48).

Таким образом, . Если М совпадает с О , то . Для любой точки М ее полярный радиус

Если М совпадает с полюсом О , то j - неопределенный. Из определения направленного угла между векторами (см. §13) следует, что полярный угол

Р

Рис. 51

М

j

М 1

Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.

Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости, , в . Присоединим к полярной системе единичный вектор , ортогональный вектору так, чтобы базис , был правым (рис. 51).

, .

Пусть М(х;у) в . Тогда ; (рис. 51).

Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным :

Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:

, откуда (корень берется со знаком «+», т.к. ). Þ Þ
;
.

a

О

в

Рис. 52

Замечание . При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только или только , т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежутке существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 52). Поэтому правильно найти полярный угол j вы сможете, только если одновременно вычислите и .