При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:
Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.
Задача 1.
Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.
Решение.
1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.
2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.
3. АD = АМ + МD = 7 см.
4. Периметр АВСD = 20 см.
Ответ. 20 см.
Задача 2.
В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.
Решение.
1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)
3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.
4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)
5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.
Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.
Задача 3.
На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,
Решение.
1. В треугольнике DОМ <МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В прямоугольном треугольнике DНС Тогда <НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Ответ: АВ: НD = 2: 1, <А = <С = 30 о, <В = Задача 4.
Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.
Решение.
1. АО = 2√6. 2. К треугольнику АОD применим теорему синусов. АО/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Ответ: 12.
Задача 5.
У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.
Решение.
Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф. 1. Посчитаем двумя разными S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 . ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Составим систему: {d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым. Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24. Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24. Ответ: 24.
Задача 6.
Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями. АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD. Учтем, что <АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имеем систему Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примечание:
В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей. Ответ: 10.
Задача 7.
Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.
Решение.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу. Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 . 2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5. 3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Ответ: 145.
Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу? сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Что такое параллелограмм? Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[ \LARGE S = a \cdot h_{a}\] где: 2. Если известны длины двух смежных сторон параллелограмма и угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \] 3. Если заданы диагонали параллелограмма и известен угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[ \LARGE S = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} \cdot sin(\alpha) \] В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB = CD \)
, \(BC = AD \)
В параллелограмме противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \)
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам \(AO = OC \)
, \(BO = OD \)
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 o: \(\angle A + \angle B = 180^{o} \), \(\angle B + \angle C = 180^{o}\)
\(\angle C + \angle D = 180^{o} \), \(\angle D + \angle A = 180^{o}\)
Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением: \(d_{1}^{2} + d_{2}^2 = 2a^{2} + 2b^{2} \)
В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: \(\angle K B H =\angle A \)
. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны. Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны. Четырехугольник будет параллелограммом, если: \(AB = CD \)
и \(AB || CD \)
\(AB = CD \)
и \(BC = AD \)
\(AO = OC \)
и \(BO = OD \)
\(\angle A = \angle C \)
и \(\angle B = \angle D \)
Площадь геометрической фигуры
- численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц. a · b · sin α Где S - Площадь трапеции, Параллелограмм – геометрическая фигура, часто встречающаяся в задачах курса геометрии (раздел планиметрия). Ключевыми признаками данного четырехугольника являются равенство противолежащих углов и наличие двух пар параллельных противоположных сторон. Частные случаи параллелограмма – ромб, прямоугольник, квадрат. Расчет площади данного вида многоугольника может быть произведен несколькими способами. Рассмотрим каждый из них. Для вычисления площади параллелограмма можно воспользоваться значениями его стороны, а также длины высоты, опущенной на нее. При этом полученные данные будут достоверны как для случая известной стороны – основания фигуры, так и если в вашем распоряжении боковая сторона фигуры. В таком случае искомая величина будет получена по формуле: S = a * h (a) = b * h(b), Пример: значение основания параллелограмма – 7 см, длина перпендикуляра, опущенного на него из противолежащей вершины, – 3 см. Решение:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21. Рассмотрим случай, когда вы знаете величины двух сторон фигуры, а также градусной меры угла, который они между собой образуют. Предоставленными данными также можно воспользоваться для нахождения площади параллелограмма. В этом случае выражение-формула будет иметь следующий вид: S = a * c * sinα = a * c * sinβ, Пример: основание параллелограмма – 10 см, его боковая сторона на 4 см меньше. Тупой угол фигуры составляет 135°. Решение: определяем значение второй стороны: 10 – 4 = 6 см. S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2. Наличие известных значений диагоналей данного многоугольника, а также угла, который они образуют в результате своего пересечения, позволяет определить величину площади фигуры. S = (d1*d2)/2*sinγ, S – площадь, которую следует определить, Формула для площади параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Доказательство Если параллелограмм - прямоугольник, то равенство выполнено по теореме о площади прямоугольника. Далее считаем, что углы параллелограмма не прямые. Пусть в параллелограмме $ABCD$ угол $\angle BAD$ острый и $AD > AB$. Иначе переименуем вершины. Тогда высота $BH$ из вершины $B$ на прямую $AD$ падает на сторону $AD$, так как катет $AH$ короче гипотенузы $AB$, а $AB < AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Сравним площадь параллелограмма $ABCD$ и площадь прямоугольника $HBCK$. Площадь параллелограмма больше на площадь $\triangle ABH$, но меньше на на площадь $\triangle DCK$. Так как эти треугольники равны, то и их площади равны. Значит, площадь параллелограмма равна площади прямоугольника со сторонами длиной в сторону и высоту параллелограмма. Формула для площади параллелограмма через стороны и синус Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними. Доказательство Высота параллелограмма $ABCD$, опущенная на сторону $AB$ равна произведению отрезка $BC$ на синус угла $\angle ABC$. Осталось применить предыдущее утверждение. Формула для площади параллелограмма через диагонали Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Доказательство Пусть диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$. Тогда $AO=OC$ и $BO=OD$ по свойству параллелограмма. Синусы углов, в сумме дающих $180^\circ$ равны, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Значит, синусы углов при пересечении диагоналей равны $\sin \alpha$. $S_{ABCD}=S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$ по аксиоме измерения площади. Применяем формулу площади треугольника $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ для этих треугольников и углов при пересечении диагоналей. Стороны каждого равны половинам диагоналей, синусы также равны. Следовательно, площади всех четырёх треугольников равны $S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{BD}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{AC \cdot BD}{8} \sin \alpha$. Суммируя всё вышесказанное, получаем $S_{ABCD} = 4S = 4 \cdot \dfrac{AC \cdot BD}{8} \sin \alpha = \dfrac{AC \cdot BD \cdot \sin \alpha}{2}$
(
(Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).
способами его площадь.
{d 1 + d 2 = 140.
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
a – сторона параллелограмма,
h a – высота, проведенная к этой стороне.Свойства параллелограмма
Признаки параллелограмма
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Формулы площади треугольника
Площадь треугольника
равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Площадь треугольника
равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
- длины сторон треугольника,
- высота треугольника,
- угол между сторонами и,
- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,Формулы площади квадрата
Площадь квадрата
равна квадрату длины его стороны.
Площадь квадрата
равна половине квадрата длины его диагонали.S =
1
2
2
- длина стороны квадрата,
- длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника
равна произведению длин двух его смежных сторон
где S - Площадь прямоугольника,
- длины сторон прямоугольника.Формулы площади параллелограмма
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма
равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
- длины сторон параллелограмма,
- длина высоты параллелограмма,
- угол между сторонами параллелограмма.
Формулы площади ромба
Площадь ромба
равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Площадь ромба
равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Площадь ромба
равна половине произведению длин его диагоналей.
- длина стороны ромба,
- длина высоты ромба,
- угол между сторонами ромба,
1 , 2 - длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции, Найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота
Найти площадь параллелограмма, если известны 2 стороны и угол между ними
Найти площадь параллелограмма, если известны диагонали и угол между ними
S = (d1*d2)/2*sinφ,
d1, d2 – известные (или полученные путем вычислений) диагонали,
γ, φ – углы между диагоналями d1 и d2.
kco1.ru - Книголюб - Образовательный портал