Ряды для чайников. Примеры решений. Знакопеременные ряды Сходимость и расходимость числовых рядов

В данной теме рассмотрим некие критерии, с помощью которых можно сделать выбор между необходимым признаком сходимости ряда, признаками Д"Аламбера и Коши, а также признаками сравнения. Напомню, что признаки сравнения, а также интегральный и радикальный признаки Коши применяются лишь для положительных числовых рядов (т.е. рядов, общий член которых не меньше нуля, $u_n≥ 0$). Признак Д"Аламбера применяется для строго положительных рядов ($u_n > 0$).

Выбор признака, с помощью которого можно проверить сходимость числового ряда, - в общем случае задача непростая. Однако для тех рядов, которые используются в стандартных типовых расчётах и контрольных работах, можно дать некие общие рекомендации. Эти рекомендации я запишу в таблицу.

Пару слов насчёт самой таблицы. Второй столбец описывает сферу применения того или иного признака сходимости в большинстве стандартных контрольных работ. Третий столбец иллюстрирует информацию второго столбца наглядными примерами (все эти примеры решены в соответствующих темах). Четвёртый столбец содержит примеры рядов, которые несколько выбиваются из общей схемы или же встречаются в стандартных контрольных работах не так уж часто.

Контрольная работа для заочного отделения

Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 5-е изд., испр. - М.: Высшая школа.Ч.1.-1998.-304с.

Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. -12-е издание. – СПб.: Лань, 2005.- 736 с

Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский. Математика: общий курс. – СПб.: Изд-во «Лань», 2002. – 954 с.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - 5-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1978. - 632с.

Демидович Б.П. Краткий курс высшей матетматики: Учебное пособие для вузов - M.: OOO «Издательство Астрель»: OOO «Издательство АСТ», 2001. - 656с.

Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления: Учеб. для втузов. В 2-ч т. Т.II: - М.: Интеграл–Пресс, 2004. -544 с.

Введение.

Выполнять контрольную работу следует строго по графику. Каждый студент выполняет контрольную работу под вариантом, номер которого совпадает с его порядковым номером в групповом журнале. Решение задач нужно предоставить в письменном виде на отдельных листах (формата А 4, в скрепленном виде). Сдавать работу можно как в печатном, так и в письменном виде. Выполняя к.р. , студент должен переписать условие соответствующей задачи, написать подробное решение, выделив ответ. Там, где это необходимо, дать краткие пояснения по ходу решения.

«ЧИСЛОВЫЕ и ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ»

Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости

Пусть u 1 , u 2 , u 3 , … , u n , …, где u n = f (n ), –– бесконечная числовая последовательность. Выражение u 1 + u 2 + u 3 + … + u n + … называется бесконечным числовым рядом , а числа u 1 , u 2 , u 3 , … , u n , … –– членами ряда; u n = f (n ) называется общим членом . Ряд часто записывают в виде .

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через S n и называют n -й частичной суммой ряда :

Ряд называется сходящимся , если его n -я частичная сумма S n при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. если . Число S называют суммой ряда . Если же n -я частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся .

Ряд , составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму .

Ряд , называемый гармоническим , расходится.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то , т.е. при предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Таким образом, если , то ряд расходится.

Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. . Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех n , а лишь начиная с некоторого номера n = N .

Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел , то ряды и одновременно сходятся или расходятся.

Радикальный признак Коши. Если для ряда

существует , то этот ряд сходится при , расходится при .

Признак Даламбера. Если для ряда существует , то этот ряд сходится при , расходится при .

Интегральный признак Коши. Если f (x ) при –– непрерывная положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл .

Рассмотрим теперь ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида , где .

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. То есть, если выполняются следующие два условия: 1) и 2) .

Возьмем n -ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница:

Пусть –– n -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда S и n -й частичной суммой S n , т.е. . Нетрудно видеть, что

Величина оценивается с помощью неравенства .

Остановимся теперь на некоторых свойствах знакопеременных рядов (т.е. знакочередующихся рядов и рядов с произвольным чередованием знаков своих членов).

Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд .

В этом случае исходный ряд называется абсолютно сходящимся .

Сходящийся ряд называется условно сходящимся , если ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь , (знаменатель прогрессии). Следовательно,

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти членов. Следовательно, он расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда . , –– ряд сходится.

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $, члены которого удовлетворяют трём условиям:

1. $a_{n} >0,\, \, \, n\ge 1$, т.е. исходный ряд с положительными членами;
2. члены ряда монотонно убывают, т.е. $a_{1} >a_{2} >\ldots >a_{n-1} >a_{n} >\ldots >0$;
3. общий член ряда стремится к нулю: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0$.

Пусть существует непрерывная, монотонно убывающая, определ ённая при $x\ge 1$ функция f(x), такая что $f\left(1\right)=a_{1} ,\, \, \, f\left(2\right)=a_{2} ,\, \, \, \ldots ;\, \, \, f\left(n\right)=a_{n} ,\, \, \, \ldots $, т.е. $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n) $. Тогда, если несобственный интеграл $\int \limits _{1}^{+\infty }f\left(x\right){\rm d}x $ сходится, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ тоже сходится; если указанный интеграл расходится, то этот ряд расходится.

Замечание 1

Теорема остаётся верной и тогда, когда её условия выполняются не для всех членов ряда, а лишь начиная с k-го ($n\ge k$), в таком случае рассматривается интеграл $\int \limits _{k}^{+\infty }f\left(x\right)\, {\rm d}x $.

Замечание 2

Интегральный признак Коши существенно облегчает исследование сходимости ряда, так как позволяет свести этот вопрос к выяснению сходимости интеграла от удачно подобранной соответствующей функции $f(x)$, что легко выполняется, применяя методы интегрального исчисления.

Теорема 2 (радикальный признак Коши)

Пусть дан ряд с положительными членами $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} ,\, \, \, a_{n} >0$ и пусть существует конечный предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l.$Тогда:

1. если $l
2. если $l>1$, ряд расходится,
3. если $l=1$, то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.

Доказательство

1. Пусть существует $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l0$, то $l\ge 0$. Рассмотрим число q такое, что $l 0$ существует $N=N({\rm \varepsilon })\in $N, начиная с которого $\forall n \ge N$ выполняется неравенство $\left|\sqrt[{n}]{a_{n} } -l\right|

   $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\, a_{1} +\, a_{2} +\ldots +\, a_{N} +\, a_{N+1} +a_{N+2} +...$ . (1)

   Составим новый ряд

   $\sum \limits _{k=0}^{\infty }q^{N+k} =q^{N} +\, q^{N+1} +q^{N+2} +\ldots $ (2)

   Ряд (2) представляет собой ряд геометрической прогрессии со знаменателем $q$: $0\le q

2. Пусть существует $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l>1$. Начиная с некоторого $N=N({\rm \varepsilon })\in {\rm N}$ $\forall n\ge N$, $\, \, \sqrt[{n}]{a_{n} } >1\, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, a_{n} >1$, т.е. $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} \ne 0$, тогда исходный ряд расходится по необходимому признаку сходимости.
3. Если $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l=1$ (или не существует), то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.

Теорема доказана.

Теорема 3 (признак Даламбера)

Пусть дан ряд с положительными членами $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} \, \, \, (a_{n} >0) $, и существует конечный предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l$, тогда:

1. ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ сходится, если $l
2. ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ расходится, если $l>1$,
3. если $l=1$, то для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.

Доказательство

1. Пусть предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l$ существует и $0\le l 0$ существует $N({\rm \varepsilon })\in $N, начиная с которого $\forall n\ge N=N({\rm \varepsilon })$ выполняется неравенство $\left|\frac{a_{n+1}} {a_n}-l\right|

   Запишем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} \, \, \, (a_{n} >0) $ в виде: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =a_{1} +a_{2} +\ldots +a_{N} +a_{N+1} +a_{N+2} \, +...$. Рассмотрим новый ряд $\sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{N} \cdot q^{k} =a_{N} +qa_{N} +q^{2} a_{N} +\ldots $ . Этот ряд есть ряд геометрической прогрессии с $b_{1} =a_{N} $ и $0

2. Пусть $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l>1$. Рассмотрим число q такое, что $l>q>1$. ${\rm \varepsilon }=l-q>0$, из определения предела следует:$-{\rm \varepsilon } q > 1.$Таким образом, $a_{n+1} >a_n > 0$ и при $n\to \infty $ общий член ряда $a_{n} $ не стремится к 0, т.е. ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_n $ расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Вторая часть теоремы доказана.
3. Если $l=1$,$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $ равен единице или не существует, в этом случае для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n}{2^{n} } $.

Решение. Обозначим $\frac{n}{2^{n} } =a_{n} $, $a_{n} >0$; найдём $a_{n+1} =\frac{n+1}{2^{n+1} } $. Составим предел $l=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{(n+1)\cdot 2^{n} }{2^{n} \cdot 2\cdot n} =\frac{1}{2} \mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{n+1}{n} =\frac{1}{2}

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n}{2^{n} } $сходится.

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n!}{5^{n} } $.

Решение. Обозначим $\frac{n!}{5^{n} } =a_{n} ,a_{n} >0$; найдём $a_{n+1} =\frac{(n+1)!}{5^{n+1} } $. Составим предел

т.е. по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n!}{5^{n} } $ расходится.

Пример 3

Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} $

Решение. Обозначим $\left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} =a_{n} ,^{} a_{n} >0$. Составим предел:

$l=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to } \frac{n}{2n+1} =\frac{1}{2}

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} $сходится.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов" .

Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится, то $\lim_{n\to\infty}u_n=0$.

Часто в литературе вместо словосочетания "необходимый признак сходимости" пишут "необходимое условие сходимости". Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, то ряд может сходиться. Если же $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$ (или же предела попросту не существует), то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.

Стоит обратить внимание, что равенство $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Что означает словосочетание "необходимое условие"? показать\скрыть

Поясним понятие необходимого условия на примере. Для покупки ручки студенту необходимо иметь 10 рублей. Это можно записать так: если студент покупает ручку, то у него есть 10 рублей. Наличие десяти рублей - это и есть необходимое условие покупки ручки.

Пусть это условие выполнено, т.е. десятка у студента есть. Значит ли это, что он купит ручку? Вовсе нет. Он может купить ручку, а может приберечь деньги на потом. Или купить что-либо иное. Или подарить их кому-то, - вариантов масса:) Иными словами, выполнение необходимого условия покупки ручки (т.е. наличие денег) вовсе не гарантирует покупку этой ручки.

Точно так же и необходимое условие сходимости числового ряда $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не гарантирует сходимость этого самого ряда. Простая аналогия: если есть деньги, студент может купить ручку, а может и не купить. Если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако что произойдет, если необходимое условие покупки ручки не выполнено, т.е. денег нет? Тогда студент ручку точно не купит. То же самое и с рядами: если необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд точно будет расходиться.

Говоря кратко: если необходимое условие выполнено, то следствие может как произойти, так и не произойти. Однако если необходимое условие не выполнено, то следствие точно не произойдёт.

Для наглядности приведу пример двух рядов: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$. Общий член первого ряда $u_n=\frac{1}{n}$ и общий член второго ряда $v_n=\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю, т.е.

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0;\; \lim_{n\to\infty}v_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0. $$

Однако гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится. Выполнение необходимого условия сходимости вовсе не гарантирует сходимости ряда.

Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:

Если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.

Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры во второй части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.

Пример №1

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$. Найдём предел общего члена ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}}= \lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{7}{n^2}}=\frac{3+0-0}{5+0}=\frac{3}{5}. $$

"Предел отношения двух многочленов" . Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n=\frac{3}{5}\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.

Почему мы начали применять именно необходимый признак сходимости? показать\скрыть

Если говорить нестрого, то вопрос сходимости этого ряда решается ещё до формального исследования. Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие рассуждения. Давайте посмотрим на общий член ряда $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ повнимательнее. Сначала обратимся к числителю. Число (-1), расположенное в числителе, можно отбросить сразу: если $n\to\infty$, то данное число будет пренебрежимо малым по сравнению с остальными слагаемыми.

Посмотрим на степени $n^2$ и $n$, имеющиеся в числителе. Вопрос: какой элемент ($n^2$ или $n$) будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^2$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\;000$. И этот разрыв между $n$ и $n^2$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые, кроме тех, что содержат $n^2$, мы мысленно отбросим. После такого "отбрасывания" в числителе останется $3n^2$. А после проведения подобной процедуры для знаменателя, там останется $5n^2$. И дробь $\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ теперь станет такой: $\frac{3n^2}{5n^2}=\frac{3}{5}$. Т.е. на бесконечности общий член явно не будет стремиться к нулю. Осталось лишь показать это формально, что и было сделано выше.

Частенько в записи общего члена ряда используют такие элементы, как, например, $\sin\alpha$ или $\arctg\alpha$ и тому подобное. Нужно просто помнить, что значения подобных величин не могут выходить за некие числовые границы. Например, каким бы ни было значение $\alpha$, значение $\sin\alpha$ останется в пределах $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Т.е., к примеру, мы можем записать, что $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. А теперь представьте, что в записи общего члена ряда расположено выражение вроде $5n+\sin(n!e^n)$. Сыграет ли синус, который может "колебаться" лишь от -1 до 1, хоть какую-либо значимую роль? Ведь значения $n$ устремляются в бесконечность, а синус не сможет превысить даже единицу! Поэтому при предварительном рассмотрении выражения $5n+\sin(n!e^n)$ синус можно просто отбросить.

Или, для примера, возьмём арктангенс. Каким бы ни было значение аргумента $\alpha$, значения $\arctg\alpha$ будут удовлетворять неравенству $-\frac{\pi}{2}<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Чтобы определить, какие элементы можно "отбрасывать", а какие нет, нужен небольшой навык. Чаще всего вопрос сходимости ряда можно решить ещё до формального исследования. А формальное исследование в стандартных примерах служит лишь подтверждением интуитивно полученного результата.

Ответ : ряд расходится.

Пример №2

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ на сходимость.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$. Найдём предел общего члена ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{4n^7}{n^7}+\frac{5n^3}{n^7}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9n^2}{n^{\frac{7}{3}}}-\frac{n}{n^{\frac{7}{3}}}+\frac{12}{n^{\frac{7}{3}}}}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{5}{n^4}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9}{n^\frac{1}{3}}-\frac{1}{n^\frac{4}{3}}+\frac{12}{n^\frac{7}{3}}}=+\infty. $$

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Пределы с иррациональностями. Третья часть" (пример №7). Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Немного поговорим с позиции интуитивных рассуждений. В принципе, здесь верно всё то же самое, что было сказано в примечании к решению примера №1. Если мысленно "отбросить" все "несущественные" слагаемые в числителе и знаменателе общего члена ряда, то дробь $\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ примет вид: $\frac{\sqrt{4n^7}}{9n^2}=\frac{n^2\sqrt{4n}}{9n^2}=\frac{\sqrt{4n}}{9}$. Т.е. ещё до формального исследования становится ясным, что при $n\to\infty$ общий член ряда к нулю стремиться не станет. К бесконечности - станет, к нулю - нет. Поэтому остаётся лишь показать это строго, что и было сделано выше.

Ответ : ряд расходится.

Пример №3

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=5^n\sin\frac{8}{3^n}$. Найдём предел общего члена ряда:

$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&\frac{8}{3^n}\to 0;\\&\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}. \end{aligned}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=8\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3}\right)^n=+\infty. $$

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Пару слов насчёт тех преобразований, которые были осуществлены при вычислении предела. Выражение $5^n$ было помещено в числитель для того, чтобы выражения и в числителе, и в знаменателе стали бесконечно малыми. Т.е. при $n\to\infty$ имеем: $\sin\frac{8}{3^n}\to 0$ и $\frac{1}{5^n}\to 0$. А если мы имеем отношение бесконечно малых, то смело можем применять формулы, указанные в документе "Эквивалентные бесконечно малые функции" (см. таблицу в конце документа). Согласно одной из таких формул, если $x\to 0$, то $\sin x\sim x$. А у нас и есть как раз такой случай: так как $\frac{8}{3^n}\to 0$, то $\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}$. Иными словами, мы просто-напросто заменяем выражение $\sin\frac{8}{3^n}$ выражением $\frac{8}{3^n}$.

Полагаю, может возникнуть вопрос, зачем же мы преобразовывали выражение $5^n\sin\frac{8}{3^n}$ к виду дроби, - ведь замену можно было сделать и без такого преобразования. Ответ тут таков: замену-то сделать можно, но вот правомерна ли она будет? Теорема про эквивалентные бесконечно малые функции даёт недвусмысленное указание, что подобные замены возможны лишь в выражениях вида $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ (при этом $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - бесконечно малые), расположенных под знаком предела. Вот мы и преобразовали наше выражение к виду дроби, подогнав его под требования теоремы.

Ответ : ряд расходится.

Пример №4

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3^n}{n^2}$. Вообще-то, вопрос со сходимостью этого ряда легко решается с помощью признака Д"Аламбера . Однако можно применить и необходимый признак сходимости.

Посмотрим повнимательнее на общий член ряда. В числителе расположено выражение $3^n$, которое с возрастанием $n$ увеличивается гораздо быстрее, нежели расположенный в знаменателе $n^2$. Сравните сами: например, если $n=10$, то $3^n=59049$, а $n^2=100$. И этот разрыв стремительно увеличивается с ростом $n$.

Вполне логично предположить, что если $n\to\infty$, то $u_n$ не станет стремиться к нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено не будет. Осталось лишь проверить эту столь правдоподобную гипотезу и вычислить $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}$. Однако перед вычислением этого предела найдём вспомогательный предел функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ при $x\to +\infty$, т.е. вычислим $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}$. Зачем мы это делаем: дело в том, что в выражении $u_n=\frac{3^n}{n^2}$ параметр $n$ принимает лишь натуральные значения ($n=1,2,3,\ldots$), а аргумент $x$ функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ принимает действительные значения. При нахождении $\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{x^2}$ мы можем применить правило Лопиталя:

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x^2\right)"}=\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{2x}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x\right)"}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{1}=\frac{\ln^2 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}3^x=+\infty. $$

Так как $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=+\infty$, то $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}=+\infty$. Так как $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполнено, т.е. заданный ряд расходится.

Ответ : ряд расходится.

Иные примеры рядов, сходимость которых проверяется с помощью необходимого признака сходимости, находятся во второй части этой темы.

ВВЕДЕНИЕ

Методическое пособие предназначено для преподавателей математики в техникумах, а также для студентов второго курса, всех специальностей.

В данной работе излагаются основные понятия теории рядов. Теоретический материал соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.).

Изложение теоретического материала по всей теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по-возможности строгом языке. В конце пособия приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

Пособие предназначено для студентов заочной и дневной форм обучения.

Учитывая уровень подготовки учащихся техникума, а также крайне ограниченное число часов (12 часов + 4 ф.), отводимое программой для прохождения высшей математики в техникумах, строгие выводы, представляющие большие трудности для усвоения, опущены, ограничиваясь рассмотрением примеров.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас.

Выражение вида

где ;;;…;;… - члены ряда; - n-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда:

I. Числовой ряд

1.1. Основные понятия числового ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)

где ,,,…,,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; членназывается общим членом ряда.

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм .

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу, то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся .

Если ряд сходящийся , то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S .

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е., и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

(1.2)

называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n- ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

Ряд (1.2) принимает вид:

,ряд расходится;

Ряд (1.2) принимает вид:

Не имеет предела, ряд расходится.

- конечное число, ряд сходится.

- ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2. Ряд вида

(1.3)

называется гармоническим .

Запишем частичную сумму этого ряда:

Сумма больше суммы, представленной следующим образом:

или .

Если , то , или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

(1.4)

называется обобщенным гармоническим .

Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

1.3. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

Полагая ,,,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

Сложив его члены, получим ряд

.

Поступая так же, получим ряд

.

Придаваязначения 1,2,3,… и учитывая, что,,,…, получим ряд

.

Найти n- ый член ряда по его данным первым членам:

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n- ый член ряда имеет вид .

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n- й член ряда имеет вид . или .

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

;

.

Находим .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

,

который сходится, так как.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

,

который сходится, поскольку, следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

;

.

Подставив в общий член ряда вместо n число n+ 1, получим . Найдем предел отношения -го члена к n- му члену при :

Следовательно, данный ряд сходится.

Значит, данный ряд расходится.

Т.е. ряд расходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся , если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

;

;

.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

Общий член ряда стремится к нулю:.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда .

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой .

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда .

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

.

Взяв пять членов, т.е. заменивна

Сделаем ошибку, меньшую,

чем. Итак,.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

2.3. Упражнения.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

и

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

, но

.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

Используя признак Лейбница, получим

;,

т.е. ряд сходится.

.

Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Используя признак Лейбница, имеем

;

, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

, или

.

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как. Следовательно, данный ряд сходится условно.

III. Функциональный ряд

3.1. Понятие функционального ряда.

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным :

Придавая определенное значение , получим числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости .

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от :.

Определяется она в области сходимости равенством

, где

Частичная сумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех ; сумма ряда равна ;

, при .

3.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа называются коэффициентами ряда , а член - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится.

Радиус сходимости найдем, используя признак Даламбера:

(не зависит от),

т.е. если степенной ряд сходится при любых , удовлетворяющих данному условию и расходится при .

Отсюда следует, что если существует предел

,

то радиус сходимости рядаравен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если , то степенной ряд сходится в единственной точке .

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

3.3. Упражнения.

Найти область сходимости ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

.

Ряд абсолютно сходится, если или . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При имеем ряд

При имеем ряд- это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится при, т.е. при.

Приимеем ряд, который сходится по признаку Лейбница.

Приимеем расходящийся ряд

.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является промежуток.

IV. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

который называется рядом Маклорена .

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке , т.е.,,,…,;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

, .

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию.

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении , получим:

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которой заменим на , получим:

,

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, то заменивнаполучим:

, или

где , т.е. .

V. Практические задания для самоконтроля студентов.

При помощи признака сравнения рядов установить сходимость

;

;

VII. Историческая справка.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

И стоящим справа функциональным рядом.

Для того, чтобы вместо знака “” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.

При формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:

Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях представляют собой значения , где .

Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной конкретное значение . Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке . Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд сходящимся, если его общий член стремится к нулю при возрастании .

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.

Список литературы:

Основная:

1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;
2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;
3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 - 339 с.;
4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;
5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная:

1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;
2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;
3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;
4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;
5. Григулецкий В.Г., Ященко З.В., Высшая математика. Краснодар, 1998 – 186 с.;
6. Малыхин В.И., Математика в экономике. М., “Инфра-М”, 1999 – 356с.