Как найти уравнения касательной плоскости и нормалик поверхности в заданной точке? Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности Касательная к поверхности

Рассмотрим геометрические приложения производной функции нескольких переменных. Пусть функция двух переменных задана неявно: . Эта функция в области своего определения изображается некоторой поверхностью (п. 5.1). Возьмем на данной поверхности произвольную точку , в которой все три частных производных , , существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них не равна нулю.

Точка с такими характеристиками называется обыкновенной точкой поверхности. Если хотя бы одно из указанных выше требований не выполняется, то точка называется особой точкой поверхности.

Через выбранную на поверхности точку можно провести множество кривых, к каждой из которых может быть проведена касательная.

Определение 5.8.1 . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через некоторую точку , называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке .

Чтобы провести данную плоскость достаточно иметь две касательных прямых, то есть две кривых на поверхности. Это могут быть кривые, полученные в результате сечения данной поверхности плоскостями , (рис. 5.8.1).

Запишем уравнение касательной линии к кривой, лежащей на пересечении поверхности и плоскости . Поскольку данная кривая лежит в системе координат , то уравнение касательной к ней в точке , в соответствии с п. 2.7, имеет вид:

. (5.8.1)

Соответственно, уравнение касательной к кривой, лежащей на пересечении поверхности и плоскости , в системе координат в той же точке имеет вид:

. (5.8.2)

Воспользуемся выражением для производной неявно заданной функции (п. 5.7). Тогда , а . Подставляя эти производные в (5.8.1) и (5.8.2), получим, соответственно:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Поскольку полученные выражения не что иное, как уравнения прямых в канонической форме (п. 15), то из (5.8.3) получаем направляющий вектор , а из (5.8.4) – . Векторное произведение даст вектор, нормальный к данным касательным линиям, а, следовательно, и к касательной плоскости:

Отсюда следует, что уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид (п. 14):

Определение 5.8.2 . Прямая, проведенная через точку поверхности перпендикулярно касательной плоскости в этой точке, называется нормалью к поверхности .

Так как направляющий вектор нормали к поверхности совпадает с нормалью к касательной плоскости , то уравнение нормали имеет вид:

.

Скалярное поле

Пусть в пространстве задана область , занимающая часть или все это пространство. Пусть каждой точке этой области по какому-то закону поставлена в соответствие некоторая скалярная величина (число).

Определение 5.9.1 . Область в пространстве, каждой точке которой ставится в соответствие по известному закону некоторая скалярная величина , называется скалярным полем .

Если с областью связана какая-то система координат, например, прямоугольная декартовая, то каждая точка приобретает свои координаты. В этом случае скалярная величина становится функцией координат: на плоскости – , в трехмерном пространстве – . Скалярным полем часто называют и саму функцию , описывающую данное поле. В зависимости от размерности пространства, скалярное поле может быть плоским, трехмерным и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что величина скалярного поля зависит лишь от положения точки в области , но не зависит от выбора системы координат.

Определение 5.9.2 . Скалярное поле, зависящее только от положения точки в области , но не зависящее от времени, называется стационарным .

Нестационарные скалярные поля, то есть зависящие от времени, в данном разделе нами рассматриваться не будут.

В качестве примеров скалярных полей можно назвать поле температур, поле давлений в атмосфере, поле высот над уровнем океана.

Геометрически скалярные поля часто изображаются с помощью так называемых линий или поверхностей уровня.

Определение 5.9.3 . Множество всех точек пространства, в которых скалярное поле имеет одно и то же значение называется поверхностью уровня или эквипотенциальной поверхностью. В плоском случае для скалярного поля это множество называется линией уровня или эквипотенциальной линией .

Очевидно, что уравнение поверхности уровня имеет вид , линии уровня – . Придавая в данных уравнениях константе разные значения, получаем семейство поверхностей или линий уровня. Например, (вложенные друг в друга сферы с разными радиусами) или (семейство эллипсов).

В качестве примеров линий уровня из физики можно привести изотермы (линии равных температур), изобары (линии равных давлений); из геодезии – линии равных высот и т.д.

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида

Введем следующее определение.

Определение 1. Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является

касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Так как через точку Р проходит бесконечное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку, будет, вообще говоря, бесконечное множество.

Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности

Если в точке все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в точке все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М называется обыкновенной точкой поверхности.

Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема. Все касательные прямые к данной поверхности (1) в ее обыкновенной точке Р лежат в одной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим на поверхности некоторую линию L (рис. 206), проходящую через данную точку Р поверхности. Пусть рассматриваемая кривая задана параметрическими уравнениями

Касательная к кривой будет касательной к поверхности. Уравнения этой касательной имеют вид

Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то это уравнение превратится в тождество относительно t, так как кривая (2) лежит на поверхности (1). Дифференцируя его по получим

Проекции этого вектора зависят от - координат точки Р; заметим, что так как точка Р обыкновенная, то эти проекции в точке Р одновременно не обращаются в нуль и потому

касательный к кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Проекции этого вектора вычисляются на основании уравнений (2) при значении параметра t, соответствующем точке Р.

Вычислим скалярное произведение векторов N и которое равно сумме произведений одноименных проекций:

На основании равенства (3) выражение, стоящее в правой части, равно нулю, следовательно,

Из последнего равенства следует, что вектор ЛГ и касательный вектор к кривой (2) в точке Р перпендикулярны. Проведенное рассуждение справедливо для любой кривой (2), проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке Р перпендикулярна к одному и тому же вектору N и потому все эти касательные лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору ЛГ. Теорема доказана.

Определение 2. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку Р, называется касательной плоскостью к поверхности в точке Р (рис. 207).

Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой.

Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность).

Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна вектору (4), то, следовательно, ее уравнение имеет вид

Если уравнение поверхности задано в форме или уравнение касательной плоскости в этом случае примет вид

Замечание. Если в формуле (6) положим , то эта формула примет вид

ее правая часть представляет собой полный дифференциал функции . Следовательно, . Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке соответствующий приращениям независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости к поверхности, которая является графиком данной функции.

О пределение 3. Прямая, проведенная через точку поверхности (1) перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности (рис. 207).

Напишем уравнения нормали. Так как ее направление совпадает с направлением вектора N, то ее уравнения будут иметь вид

Уравнение нормальной плоскости

1.

4.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности,

(рис. 1).

Ненулевой вектор

→

n

называется нормальным вектором к поверхности в точке A , если

lim B → A j = π 2 .

Точка поверхности F (x , y , z) = 0 называется обыкновенной , если в этой точке

1. частные производные F " x , F " y , F " z непрерывны;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности .

Теорема 1. Если M (x 0 , y 0 , z 0 ) — обыкновенная точка поверхности F (x , y , z) = 0 , то вектор

→ n = grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → i + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

является нормальным к этой поверхности в точке M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МЭИ, 2002 (стр. 128).

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

(3)

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция z = f (x , y) дифференцируема в точке a (x 0 , y 0 ) . Ее графиком является поверхность

f (x , y) − z = 0.

Положим z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Тогда точка A (x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит поверхности.

Частные производные функции F (x , y , z) = f (x , y) − z суть

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

и в точке A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. они непрерывны;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F (x , y , z) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a (x 0 , y 0 ) в произвольную точку p (x , y) есть B Q (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Здесь в правой части стоит дифференциалd z функции z = f (x , y) в точке a (x 0 , x 0 ). Следовательно,
d f (x 0 , y 0 ). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f (x , y) в точке (x 0 , y 0 , z 0 = f (x 0 , y 0 )).

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a .

Скачать с Depositfiles

4. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4.1 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Поверхность в трёхмерном пространстве может быть задана:

1) неявно: F ( x , y , z ) =0 (4.1)

2) явно: z = f ( x , y ) (4.2)

3) параметрически: (4.3)

или:
(4.3’)

где скалярные аргументы
иногда называют криволинейными координатами. Например, сферу
удобно задавать в сферических координатах:
.

4.2 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.

Если линия лежит на поверхности (4.1), то координаты её точек удовлетворяют уравнению поверхности:

Дифференцируя это тождество, получим:

(4.4)

или
(4.4 ’ )

в каждой точке кривой на поверхности. Таким образом, вектор градиента в неособых точках поверхности (в которых функция (4.5) дифференцируема и
) перпендикулярен касательным векторам к любым линиям на поверхности, т.е может быть использован в качестве вектора нормали для составления уравнения касательной плоскости в точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) поверхности

(4.6)

и в качестве направляющего вектора в уравнении нормали:

(4.7)

В случае явного (4.2) задания поверхности уравнения касательной плоскости и нормали соответственно примут вид:

(4.8)

и
(4.9)

При параметрическом представлении поверхности (4.3) векторы
лежат в касательной плоскости и уравнение касательной плоскости может быть записано в виде:

(4.10)

а в качестве направляющего вектора нормали может быть принято их векторное произведение:

и уравнение нормали может быть записано в виде:

(4.11)

где
— значения параметров соответствующие точке М 0 .

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь таких точек поверхности, где векторы

не равны нулю и не параллельны.

Пример 4.1 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке М 0 (1,1,2) к поверхности параболоида вращения
.

Решение: Так как уравнение параболоида задано в явном виде, то согласно (4.8) и (4.9) нужно найти
в точке М 0 :

, а в точке М 0
. Тогда уравнение касательной плоскости в точке М 0 примет вид:

2(x -1)+2(y -1)-(z -2)=0 или 2 x +2 y – z ‑ 2=0, а уравнение нормали
.

Пример 4.2 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в произвольной точке геликоида
, .

Решение. Здесь ,

Уравнение касательной плоскости:

или

Уравнения нормали:

.

4.3 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

Если поверхность задается уравнением

то кривая
на ней может быть задана уравнением
(4.12)

Дифференциал радиус-вектора
вдоль кривой, отвечающий смещению из точки М 0 в близлежащую точку М, равен

(4.13)

Так как
— дифференциал дуги кривой, отвечающий тому же смещению), то

(4.14)

где .

Выражение в правой части (4.14) называется первой квадратичной формой поверхности и играет в теории поверхностей огромную роль.

Интегрирую дифференциал ds в пределах от t 0 (соответствует точке М 0 ) до t (соответствует точке М), получим длину соответствующего отрезка кривой

(4.15)

Зная первую квадратичную форму поверхности, можно находить не только длины, но и углы между кривыми.

Если du , dv — дифференциалы криволинейных координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кривой, а
— по другой, то с учетом (4.13):

(4.16)

С помощью формулы

(4.17)

первая квадратичная форма дает возможность вычислить площадь области
поверхности.

Пример 4.3 На геликоиде , найти длину винтовой линии
между двумя точками .

Решение. Поскольку на винтовой линии
, то . Найдём в точке
первую квадратичную форму. Обозначив и v = t , получим уравнение данной винтовой линии в виде . Квадратичная форма:

= ‑ первая квадратичная форма.

Здесь . В формуле (4.15) в данном случае
и длина дуги:

=

4.4 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

Обозначим
‑ единичный вектор нормали к поверхности
:

(4.18) . (4.23)

Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным направлением.

4.6 ПОНЯТИЕ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ НА ПОВЕРХНОСТИ.

Определение 4.1 . Кривая на поверхности называется геодезической, если ее главная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью к поверхности.

Через каждую точку поверхности в любом направлении проходит, и при том только одна геодезическая. На сфере, например, геодезическими являются большие круги.

Параметризация поверхности называется полугеодезической, если одно семейство координатных линий состоит из геодезических, а второе ему ортогонально. Например, на сфере меридианы (геодезические) и параллели.

Геодезическая на достаточно малом отрезке является кратчайшей среди всех близких к ней кривых, соединяющих те же точки.

Графиком функции 2-х переменных z = f(x,y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ , заданную уравнением z = f(x,y) , где f(x,y) – дифференцируемая функция, и пусть M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) – фиксированная точка на поверхности σ , т.е. z 0 = f(x 0 ,y 0). Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности . Решение оформляется в формате Word . Если необходимо найти уравнение касательной к кривой (y = f(x)), то необходимо использовать данный сервис .

Правила ввода функций :

Правила ввода функций :

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М 0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М 0 .
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) имеет вид:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М 0 . Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности σ в точке М 0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), где z 0 = f(x 0 ,y 0), имеют вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 (0;1).
Решение . Запишем уравнения касательной в общем виде: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
По условию задачи x 0 = 0 , y 0 = 1 , тогда z 0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
В точке М 0 (0,1) значения частных производных:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5 y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 (1;0;1).
Решение . Находим частные производные функции . Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М 0 (1,0,1) значения частных производных:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) или 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z = y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0), принадлежащей ей, если x 0 = –1, y 0 = 2.
Найдем частные производные функции z = f (x , y ) = y/x + xy – 5x 3:
f x ’(x , y ) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ’ (x , y ) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x .
Точка М 0 (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит поверхности σ , поэтому можно вычислить z 0 , подставив заданные x 0 = –1 и y 0 = 2 в уравнение поверхности:

z = y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
В точке М 0 (–1, 2, 1) значения частных производных:
f x ’(М 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y ’(М 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М 0: .
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: .

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х 0 , y 0) и В(х 1 ,y 1). Требуется: 1) вычислить значение z 1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z 1 функции в точке В исходя из значения z 0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
По условию задачи x 0 = 1, y 0 = 2, тогда z 0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
В точке М 0 (1,2) значения частных производных:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
или
-26 x-36 y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).